הפרק הפעם עוסק באחת החידות הגדולות והמסקרנות של המדע. אסטרונומים מגלים דברים, וסופרים ממציאים סיפורים- אבל מה לגבי המתמטיקאים? האם הם מגלים את נוסחאותיהם, או שמא כל המפעל האדיר של המתמטיקה הוא המצאה אחת גדולה?

-מדוע מדד אדולף קטלה הבלגי את גובהם של מאה אלף חיילים צרפתים?
-מדוע החליט הרולד הארדי לחקור דווקא את תורת המספרים?
-מדוע ניסה אוקלידס להתעלם מהאקסיומה החמישית אותה ניסח בעצמו?
-ואיך הצליח קורט גדל לגרום לכמעט-התקף-לב לאלברט איינשטיין…

על כל זאת ועוד, בפרק שלפניכם. תודה לויקטור בן עזרא שכרגיל סייע לי בהכנת התוכנית.

פודקאסט חדש לכל חובבי הכתיבה שביניכם: 'כתיבה 101'. אני וזיו קיטרו נדבר בכל שבועיים על כתיבה, טכניקות,הוצאה לאור ועוד- ונהפוך אתכם (בשאיפה) לכותבים טובים יותר. אם אתם סופרים מתחילים, משוררים, עיתונאים, מחזאים או סתם אוהבים לקרוא…'כתיבה 101' היא בשבילכם.

ערב 'ספקנים בפאב' השלישי יהיה ב-14.6.10, בפאב המרתף שבחיפה, בשעה 2030. המרצה יהיה…אני. נושא ההרצאה: 'האישה שילדה 16 ארנבות: על תרמיות מדעיות'. בהרצאה תשמעו על איש פילטדאון, על התורכי האוטומטי, על שבט הנאקרימיה וכמובן גם האישה שילדה 16 ארנבות. באמת! פרטים נוספים בבלוג של לוטם אליהו, מארגנת הערב.

ניר דהן ינסה לבחון את הידע שלכם בחום ואנרגיה…תשובות ופתרונות בפורום החדש.

האזנה נעימה!

רן

---

לשבור את האקסיומה החמישית: האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה?

כתב: רן לוי

לבת שלי, כשהייתה בת שנתיים וקצת, הייתה שיטה בדוקה להתמודדות עם מצבים מלחיצים. זו שיטה נפוצה אצל ילדים, אולי נתקלתם בה: אם היינו נכנסים לחדר ובו אנשים רבים שלא הכירה, היא הייתה עוצמת את עינייה חזק חזק. מבחינתה, כולם נעלמו. הבעיה נפתרה.

אבל עצימת עיניים אינה מעלימה את המציאות, כמובן. יש עולם אמתי שם בחוץ. אם עץ נופל ביער, הוא ישמיע רעש גם אם אין אף אחד שישמע אותו. כל מדען יגיד לך שזה נכון.

או, ליתר דיוק, כמעט כל המדענים. יש תחום מדעי אחד שבו ההבחנה בין המציאות לדימיון האנושי, אינה כה ברורה.

כבר שלושת אלפי שנים שהמתמטיקאים שואלים את עצמם אם המתמטיקה היא תגלית, או המצאה. כמעט בכל תחום אחר של התרבות האנושית התשובה ברורה מאליה, עד שהשאלה כלל אינה עולה לדיון. הנה דוגמה שאולי תבהיר את מהות הבעיה.

כשאסטרונום רואה כוכב חדש דרך עדשת הטלסקופ, ברור לו שהוא "גילה" כוכב חדש- אבל  הכוכב היה שם קודם, בדיוק כמו שיבשת אמריקה הייתה שם גם לפני שקולומבוס יצא להפלגת הגילוי הגורלית שלו. מצד שני, כשאסף אמדורסקי כותב שיר על כוכב, ברור שהוא "המציא" את השיר הזה. השיר לא היה קיים עד שאסף אמדורסקי החליט לכתוב אותו. אבל מה לגבי המתמטיקה?

כשמתמטיקאי משרבט נוסחה או תרגיל על דף, הוא מבצע פעולה שנמצאת באזור הדמדומים שבין 'תגלית' ל'המצאה'. לעתים ברור שהסימנים על הדף מייצגים חפצים שקיימים גם בעולם האמתי, למשל 1+1=2. תפוח אחד ועוד תפוח אחד, שני תפוחים. אבל במקרים אחרים, הקשר שבין הסימנים שעל הדף והעולם המציאותי אינו כה חד וברור. כשהיינו ילדים למדנו בכיתה על משולשים, מרובעים ועיגולים. אחרי השיעור יצאנו לחצר ובעטנו בכדור עגול, שיחקנו בקוביות או (במקרה שלי) אכלנו משולשים של פיצה. הצורות הגיאומטריות קיימות גם במציאות. זאת אומרת, הגאומטריה – חלק מהמתמטיקה – הייתה קיימת במציאות עוד לפני שהאדם הראשון חשב על 'משולש'.

אבל האם אי פעם ראיתם משולש אמתי? אני מתכוון למשולש גיאומטרי אידיאלי: שלוש פינות נקודתיות וצלעות ישרות לחלוטין. לא, לא ראיתם אחד כזה מכיוון שמשולשים במציאות הם תמיד משולשים 'פגומים'. לא משנה כמה נתאמץ ובאילו כלים נשתמש, בכל משולש שנבנה או נשרטט הצלעות יהיו תמיד קצת עקומות והפינות לא בדיוק נקודתיות. אין מה לעשות: זהו העולם האמתי שבו אין דבר מושלם. אז אולי בכל זאת הגאומטריה אינה באמת קיימת בעולם האמתי?

את השאלה הזו שואלים את עצמם מדענים ופילוסופים מזה אלפי שנים. פיתגורס, למשל, האמין שהמתמטיקה אינה המצאה אנושית. הוא ותלמידיו ראו בחוקים ובהוכחות הגיאומטריות משהו נשגב, אמת נעלה יותר מכל מה שעשוי להיווצר במוח אדם בר תמותה ועלוב. הייתי רוצה להגיד לכם שאין צורך להיות דוקטור למתמטיקה כדי להבין מדוע חשב כך פיתגורס אבל לרוע המזל, יופיה האמתי של המתמטיקה חושף את עצמו אך ורק למי שמתעמק ושוקע בתוכה עד הצוואר.

עבור רובנו, האנשים שמכירים את המספרים והמשוואות רק משיעורים משעממים בבית הספר, המתמטיקה היא מקצוע טכני משעמם ומייגע, אבל כל מתמטיקאי יגיד לכם שמתמטיקה היא יפה. לא 'יפה' כתיאור סתמי, אלא 'יפה' כמו ציור מדהים שאינך מסוגל להפסיק להתבונן בו, כמו ספר שאתה חייב להמשיך לקרוא אותו על אף שהשעה כבר אחת אחרי חצות וכמו שיר שמעביר בך צמרמורת כשאתה שומע אותו בפעם הראשונה. יש בה אלגנטיות מדהימה שנחשפת בעיקר כשאתה מגלה עד כמה היא מסוגלת לקשור יחדיו תופעות טבע שנראות, על פניו, לא קשורות לחלוטין זו לזו. הסיפור הבא ידגים את האלגנטיות הזו.

התפלגות נורמלית

אדולף-ז'אק קטלה (Quetelet) נולד בעיר הבלגית גנט בשנת 1796. הוא היה איש אשכולות של ממש: כתב שירה, חיבר מחזות, תרגם ספרים וגם לימד מתמטיקה, פיסיקה ואסטרונומיה. הוא היה מדען מוצלח, והראשון שקיבל את התואר 'דוקטור למדעים' מאוניברסיטת גנט. ב-1823 נשלח קטלה לפריז לשם התמחות באסטרונומיה. בצרפת פגש קטלה את אחד מהמתמטיקאים הגדולים של דורו – פייר סימון לפלס. זו הייתה פגישה גורלית עבור קטלה, שכן לפלס הצית אצלו אהבה גדולה לסטטיסטיקה.

הסטטיסטיקה הייתה תחום צעיר ולא מפותח באותם הימים, אבל המתמטיקאים שעסקו בנושא זה כבר הספיקו לגלות כמה עובדות מסקרנות. נניח, למשל, שאנחנו מודדים את הטמפרטורה של דלי מים רותחים באמצעות מד חום. מד החום איננו מושלם ולכן בכל פעם שנכניס אותו לתוך הדלי, נקבל תוצאה שונה. השינויים יהיו זעירים – שברירי מעלה לכאן או לכאן: במדידה אחת נקרא 100.5 מעלות, במדידה הבאה אולי 99.5 מעלות. כדי להיות בטוחים בתוצאת המדידה שלנו, נבצע אלף מדידות שונות ונרשום את התוצאות בגרף: הציר האופקי בגרף יהיה הטמפרטורה הנמדדת והציר האנכי – כמה פעמים קיבלנו אותה המדידה. הגרף שנקבל ייראה בצורת פעמון: אזור מרכזי גבוה ושוליים שהולכים וקטנים בהדרגה. יהיו מדידות רבות שנעות סביב נקודת מאה המעלות, ומעט מדידות שהולכות ומתרחקות ממנה, למשל, עשר מדידות של 101 מעלות, 5 מדידות של 102 מעלות ורק 3 מדידות של 104 מעלות.

המתמטיקאים נתקלו בגרף הפעמון הזה בניסויים שונים בפיסיקה. כמעט בכל פעם שמדידה חזרה על עצמה שוב ושוב, למשל מדידת מהירות, זרם חשמלי, אורך, רוחב ומה לא, התוצאה הייתה עקומת פעמון. למעשה,  ניסויים ומדידות רבים כל כך הפיקו אותה צורת פעמון עד שהיא קיבלה את השם 'התפלגות נורמלית': כך מתנהג הטבע באופן נורמלי.

אבל פיסיקה זה דבר אחד, ובני אדם הם משהו אחר. איננו דלי מים בעל טמפרטורה אחת – אנחנו שונים זה מזה. כל אחד מאיתנו נראה אחרת: גבוה, נמוך, רזה, שמן, קירח, שעיר ועוד ועוד. ההבדלים בין בני האדם, כך נדמה, הם אקראיים לחלוטין. אבל אדולף קטלה האמין שהוא מסוגל להכניס את בני האדם לתוך אותה מסגרת נוקשה שהציבה הסטטיסטיקה. "המקריות," טען קטלה, "היא רק צעיף המכסה על בערותינו."

כדי להוכיח את דבריו, קטלה מדד את גובהם של מאה אלף טירונים בצבא הצרפתי, וצייר את התוצאות על גרף. גובהם של רוב החיילים נע סביב איזה שהוא ערך מסוים – למשל, מטר ושבעים ס"מ – וככל שמתרחקים מאותו ערך מספר החיילים יורד. רק חלק קטן מהם מתנשא לגובה של מטר ותשעים או מטר וחמישים. אם התיאור הזה מוכר לכם, אתם צודקים: לגרף שקיבל קטלה היה צורה של… פעמון. מכאן, שגם הגובה האנושי מציית לאותה התפלגות סטטיסטית 'נורמלית' של מדידות טמפרטורה. קטלה מצא סדר מסוים בתכונה אנושית שעל פניו היא אקראית לחלוטין. קטלה מדד גם את היקף החזה של ששת אלפים חיילים סקוטיים, ושוב קיבל אותה ההתפלגות הנורמלית.

מנין הקשר שבין התנהגות מד-חום בתוך דלי מים רותחים, לגובה של חיילים צרפתים? על פניו, אלו תופעות שונות לחלוטין. קטלה ניסה לפתור את הדילמה הזו באמצעות הסבר מקורי: הוא טען שהטבע מנסה ליצור בן אדם (במקרה הזה, חייל צרפתי) בעל גובה 'אידיאלי'. אבל הטבע מפספס. במקום חייל בגובה האידיאלי, הוא מייצר חייל 'שגוי', בגובה שונה מהרצוי. הצטברות השגיאות הללו יוצרת את עקומת הפעמון, אותה עקומת פעמון שיוצרות גם שגיאות מדידת הטמפרטורה בדלי. בעיניים מודרניות, קל לראות שקטלה טעה לחלוטין. הטבע אינו מנסה 'ליצור' שום דבר, ואם כבר היה מנסה ליצור משהו מושלם – זה בטח לא יכול להיות חייל צרפתי.

כדי לסבך את העניינים עוד יותר, קטלה החליט למדוד דברים שונים לחלוטין. למשל, את שיעור ההתאבדויות בעיר מסויימת, את חומרת הפשיעה לפי שנה, או התפלגות גיל הנישואים. גם שם הוא גילה שהגרף נראה בדיוק אותו הדבר: התפלגות נורמלית. משמעות הממצא הזה מדהימה ביותר. אותו חוק מתמטי, אותה 'משוואה' אם תרצו, שמתארת תופעות בעולם הפיסיקה והאסטרונומיה – מתארת גם תופעות שאינן פיסיקליות, כמו גיל הנישואים בבלגיה ובצרפת. יש קשר עמוק וחבוי בין שני תחומים שנראים על פניו שונים לחלוטין, והקשר הזה הוא קשר מתמטי. אז איך יכול להיות שהמתמטיקה היא המצאה אנושית, פרי מוחנו כמו שיר של אסף אמדורסקי או מחזה של שייקספיר, אם היא אוניברסלית כל כך? ברור שהקשר הזה היה קיים שם קודם, עוד לפני שקטלה החליט לחקור אותו.

קשרים מתמטיים כמו אלה שגילה קטלה מתגלים לנו בכל עת ובכל מקום. אפילו במקרים שבהם המתמטיקה נראית מנותקת לחלוטין מן המציאות.

המתמטיקאי הבריטי הרולד הארדי עסק, בתחילת המאה העשרים, בתורת המספרים. הוא בחר בתחום הזה בין היתר כיוון שהאמין שלענף המתמטיקה הספציפי הזה לא יכול להיות ולו יישום מעשי אחד, אי פעם. מה כבר אפשר לעשות עם מספרים ראשוניים, מספרים לא רציונליים ועוד כל מיני יצורים משונים שכאלה? הארדי אהב את הידיעה שמהמחקרים שלו לא ייצאו טנקים, נשקים ועוד כלי מלחמה דומים. הוא אמר:

"שום תגלית מתגליותי אין בה וקרוב לוודאי שלעולם לא תהיה בה, במישרין או בעקיפין, לטוב או לרע, שמץ של תועלת לטובת העולם."

כמה עשרות שנים לאחר מכן נתגלה שהאבולוציה של אוכלוסיות מסויימות בטבע מתנהגת בדיוק לפי אחת המשוואות שגילה הארדי. וכאילו כדי להוסיף עלבון על גבי עלבון, עבודות נוספות שלו נתגלו כבעלות חשיבות עצומה בתורת ההצפנה, בעלת משמעויות צבאיות ברורות. שוב אנחנו רואים שהמתמטיקה קשורה בעולם המציאות בקשרים עבותים והדוקים. אדולף קטלה עצמו אמר ש"ככל שתחום מסויים במדע מתקדם יותר, כך הוא נוטה להיות מתמטי יותר."

אפילו איינשטיין שאל: "איך יכול להיות שהמתמטיקה, תוצאה של המחשבה האנושית שאינה תלויה בניסיון החיים שלנו, מתאימה באורח כל כך הדוק לתיאור המציאות?"

האין זו הוכחה ברורה לכך שהמתמטיקה היא תגלית, ולא המצאה? רגע. לא כל כך מהר.

האקסיומה החמישית

הגאומטריה האוקלידית היא ענף אחד מהמקצועות המתמטיים הראשונים שאנחנו לומדים בבית הספר: משולשים ישרי_–זווית, היקף המעגל, שטח של מרובע ועוד נושאים שכאלה. הגאומטריה היא גם אחד מהתחומים הבסיסיים והחשובים של המתמטיקה כולה. בכל מקום ובכל מדע נמצא תמיד קווים ישרים, רדיוסים, שטחים וכיו"ב. האקסיומות הן הבסיס לגאומטריה; הן סדרת משפטים קצרים ופשוטים – אבל בעלי עצמה אדירה. למשל: 'בין כל שתי נקודות ניתן למתוח קו ישר', או 'כל שתי זוויות ישרות שוות זו לזו'. המורים למתמטיקה בבית הספר מדגישים תמיד איך ניתן לפתור מגוון גדול מאוד של בעיות בגאומטריה על ידי יישום מחוכם של כמה אקסיומות בסיסיות שכאלה.

אוקלידס האלכסנדרוני, בן המאה הרביעית לפנה"ס, נחשב לאבי הגאומטריה והוא זה שניסח את עשרת האקסיומות הבסיסיות שמהן צמח כל המדע. מתוך אותן עשר אקסיומות, הייתה אחת – החמישית – שאוקלידס כנראה לא אהב במיוחד. הוא רשם אותה, אבל מעולם לא השתמש בה כדי להוכיח משפטים אחרים ולפתור בעיות – כאילו שהיא הייתה 'מנודה' בעיניו מסיבה כלשהי.

האקסיומה החמישית גרסה, בניסוח מפושט, שאם יש קו נתון ולידו נקודה, אפשר למתוח דרך הנקודה רק קו אחד שיהיה מקביל לקו הנתון. במילים אחרות, אי אפשר להעביר שני קווים שונים דרך אותה הנקודה, ולצפות ששניהם יהיו מקבילים לקו שלישי נתון: רק אחד מהם יכול להיות מקביל לו!

הבעיה עם האקסיומה החמישית היא שאינה פשוטה ומצומצמת כמו שאר האקסיומות. היא אינה אלגנטית מספיק כדי להתחרות עם עצמת אקסיומות כמו 'כל שתי זוויות ישרות שוות זו לזו.' היא שונה מכולן. משהו בה… לא בסדר. לאורך מאות ואלפי השנים מאז ימי אוקלידס ניסו המתמטיקאים להיפטר מהאקסיומה החמישית. הם ניסו לשנות את ניסוחה או להוכיח אותה כנובעת מתשע האקסיומות האחרות – אבל ללא הועיל. האקסיומה החמישית הייתה תקועה כמו בנייני הולילנד באמצע הנוף הירושלמי.

מספר מתמטיקאים במאה ה-19 החלו משתעשעים ברעיונות 'מה יקרה אם': רעיונות כמעט על סף הכפירה. מה יקרה אם נחליף את האקסיומה החמישית, באקסיומה חדשה?

אחד מאותם מתמטיקאים היה הונגרי בשם יאנוש בולאי. הוא החליף את הטענה שדרך הנקודה יכול לעבור רק קו מקביל אחד לקו הנתון, באקסיומה לפיה יש לפחות שני (!) קווים  מקבילים לקו הנתון. הטענה הזו יכולה להיות נכונה רק אם המרחב הוא בצורת אוכף: דהיינו, מרחב עקמומי ולא ישר. איננו יכולים לדמיין לעצמנו איך זה מרגיש לחיות בתוך מרחב בצורת אוכף, אבל זה לא אומר שהמתמטיקה אינה נכונה. החוקים והמשוואות שניסח יאנוש עבור המרחב הזה נכונים, הגיוניים ותקפים ממש כמו הגאומטריה הרגילה. כל ההבדל הוא שזו גאומטריה שיאנוש "המציא", ולא גילה.

אביו של יאנוש שלח עותק ממחקריו של בנו לפרידריך גאוס, 'נסיך המתמטיקאים' ומי שנחשב לאחד המתמטיקאים החשובים ביותר בהיסטוריה. גאוס כתב ליאנוש שהוא מעריך מאוד את העבודה שלו, אבל הוא כבר חשב עליה קודם. וזה נכון – יש הוכחות בכתב שגאוס באמת חשב עליה קודם, הוא פשוט לא פרסם אותה כי חשש שיחשבו שהוא מטורף. יאנוש לא היה מוכן לקבל זאת, והיה משוכנע שגאוס גנב ממנו את רעיונותיו. הוא ידע שלא יוכל להתמודד מול המוניטין האדיר של גאוס ושקע בדיכאון ובמרה שחורה.

האפשרות שישנה גאומטריה 'לא-אוקלידית', דהיינו גאומטריה שבה יכולות להתקיים אקסיומות שונות מעשרת האקסיומות של אוקלידס, הכתה את המתמטיקאים בתדהמה. האקסיומות הללו נראו יציבות כל כך ותיארו בצורה טובה כל כך את העולם האמתי: איך יכול להיות שאפשר להחליף אותן באקסיומות אחרות, ועדיין לקבל מתמטיקה הגיונית ותקפה? מה זה אומר לגבי העולם שלנו?

לאורך השנים צצו גאומטריות נוספות דומות שהתבססו על מרחבים בעלי ארבעה, חמישה ואפילו אינסוף ממדים. רובן מתארות מרחבים שאיננו מסוגלים לקלוט, אבל חלקן דווקא מתארות את המציאות כפי שאנו מביטים אותה כיום. אלברט איינשטיין, למשל, הוכיח, בתורת היחסות שלו, שהמרחב אינו ישר. בקרבת גופים בעלי כוח משיכה חזק, המרחב מתעקם. אנו יכולים לראות זאת אם אנחנו עוקבים אחר מהלכן של קרני אור ליד כוכבי שבת מאסיביים: קרני האור שאמורות לנוע בקו ישר, מתעקמות. הן לא שינו כיוון: המרחב עצמו התעקם – כמו שביל שעולה ויורד בהרים ובגבעות מתחת לאיש שצועד בקו ישר. במצבים כאלה, הגאומטריה האוקלידית – הנראית כה מושלמת, חלק מהעולם המציאותי, מתפרקת לגמרי.

קורט גדל

אם המתמטיקה היא חלק בלתי נפרד מהמציאות, הרי שהיא צריכה להיות עקבית. זאת אומרת, לא יכול להיות שטענות מסוימות הן גם נכונות גם לא נכונות: אם מתחילים סדרה של הקשים לוגיים מאקסיומה מסוימת ושומרים על כל הכללים הלוגיים הנכונים, מגיעים לתוצאה הגיונית ועקבית. זו הייתה הטענה שהעלה מתמטיקאי גרמני בשם דיוויד הילברט, וזו גם הייתה הטענה שקורט גדל בן ה-24 ביקש לחקור ולאתגר בתחילת המאה העשרים. התוצאה הייתה מכה אנושה לרעיון שלפיו המתמטיקה היא חלק מהמציאות.

קורט גדל היה… טיפוס. הנה אנקדוטה שתדגים את אופיו המיוחד. בזמן מלחמת העולם השנייה נמלט עם אשתו מאוסטריה לארצות הברית, והפך לחברם הטוב של אלברט איינשטיין ואוסקר מורגנשטרן, כלכלן מאוניברסיטת פרינסטון. בשנת 1946 עמד גדל בפני בחינות ההתאזרחות שלו. התהליך עצמו די פשוט: הנבחן יושב מול שופט ששואל אותו כמה שאלות בסיסיות לגבי ארצות הברית. למשל, איזה סוג ממשל יש במדינה, איך נקרא בית הדין הגבוה וכולי. גדל החל להתכונן למבחן באופן יסודי. הוא למד על תולדות ההתיישבות בצפון אמריקה, על האינדיאנים, על חוקת ארצות הברית ואפילו על מועצת העיר פרינסטון. הוא השקיע זמן ומאמץ רביםבהתכוננות למבחן, ואיינשטיין ומורגנשטרן ניסו להרגיע אותו. הם הסבירו לו שהשאלות הן קלות ופשוטות – רק כדי לצאת ידי חובה, פחות או יותר – ובכל אופן, גדל היה מתמטיקאי מפורסם, ואיינשטיין יישב לצדו בתור עד זמן הבחינה. מי כבר יעשה צרות לשניהם?

אבל גדל לא הרפה, וחקר את חוקת ארצות הברית לעומקה ולרוחבה. יום אחד הוא ניגש למורגנשטרן וסיפר לו שהוא גילה בחוקה סתירות לוגיות פנימיות ושהוא יכול להוכיח, באופן מתמטי, שאדם יכול להכריז על עצמו כדיקטטור בארצות הברית ועדיין לעמוד בתנאי החוקה. איינשטיין ומורגנשטרן נחרדו מהכיוונים שאליהם פנה גדל. הוא עמד להפוך בחינה קטנה ומטופשת לדיון חוקתי. הם הזהירו אותו שלא יעלה את העניין מול השופט.

יום הבחינה הגיע, וגדל ישב מול הבוחן ושני המדענים הבכירים לצדו. השופט – שכנראה היה הנרגש ביותר מבין כל הארבעה – שאל את גדל מהיכן הגיע.

'מאוסטריה,' השיב המתמטיקאי.

'איזו מין ממשלה הייתה לכם באוסטריה?' שאל השופט.

'זו הייתה רפובליקה,' ענה גדל, 'אבל החוקה הייתה כזו שנהפכה בסופו של דבר לדיקטטורה.'

השופט אמר- 'באמת? זה איום ונורא. זה לא יכול לקרות בארץ הזאת.'

וגדל אמר- 'דווקא כן, ואני יכול להוכיח את זה.'

בשלב זה איינשטיין ומורגנשטרן היו על סף פניקה, אבל השופט החליט בחכמה שלא להכנס לפינה הזו – וסיים את הבחינה. גדל קיבל אזרחות, וכולם חזרו לשגרה.

כפי שניתן להבין מהסיפור, גדל לא היה אדם שנרתע ממציאת חולשות במערכות פורמליות. ב-1931, הוא מצא חולשה שכזו במתמטיקה. במאמר היסטורי שפרסם הוא הוכיח שהמתמטיקה אינה יכולה להיות גם שלמה וגם עקבית. זאת אומרת, במקרה הטוב, יש טענות מתמטיות שאי אפשר להוכיח אותן – אמנם טענות נכונות, אבל כאלה שאינן נובעות מתוך האקסיומות וההיסקים שלנו. במקרה הגרוע, המתמטיקה יכולה להיות בעלת סתירות פנימיות! ואם המתמטיקה היא מערכת פורמלית לא מושלמת, ואולי אפילו בעלת סתירות פנימיות, איך יכול להיות שהיא חלק מהמציאות, חלק מהיקום? האם גם היקום שלנו פגום בצורה כלשהי? ואולי לא ניתן לצפות שנתאר את עולם הטבע במלואו בעזרת המתמטיקה?

יש חוקרים שטוענים שהמתמטיקה היא תוצר אנושי ותו לא. המוח שלנו נוצר והתפתח באמצעות האבולוציה, בסביבה שיש הפשטות עדיפה על הדיוק: זאת אומרת, אם אנחנו רואים ממותה, בעלת רגליים, חדק, חיתים וכולי – כדאי שנתפוס אותה כחיה אחת שלמה ולא כאוסף רכיבים. בצורה כזו קל יותר להבין שעומדים מולנו עדר של שלוש, ארבע, חמש או יותר ממותות – ולפתח אסטרטגיה המתאימה לצוד אותן. אם הגישה הזו נכונה, אזי המתמטיקה היא כמו השפה: יכולת מובנת, אינסטינקט אנושי טהור. רעיונות כמו 'אחד', 'שתיים', 'חיבור' ו'חיסור' יצוצו במוחנו גם אם לא נשב בשיעור בתיכון וננקר מול לוח עמוס משוואות, אך ורק מכיוון שאבותינו התרגלו לחשוב על 'ממותה אחת' ו'שתי ממותות'.

המתמטיקאי הבריטי סר מייקל עטיה נתן דוגמה מעניינת בהקשר הזה. נניח שיש מדוזה חייזרית שחיה לבדה בעולם שהוא כולו נוזלי. כל מה שהמדוזה מכירה הם זרמים, לחצים, הפרשי טמפרטורות וכו'. בעולם הדימיוני הזה אין שום דבר 'בדיד': הכל זורם ורציף, ואין מה לספור במובן שבו אנחנו רגילים לספור. האם גם היא תפתח את תורת המספרים? אולי לא. הדוגמה הזו מראה לנו שאולי הסיבה לכך שהיקום שסביבנו מתאים בצורה כה מושלמת למתמטיקה שלנו, היא שאין לו ברירה: אנחנו כופים עליו את ראיית העולם שלנו. אין לנו שום אפשרות אחרת להבין את העולם, אלא דרך המשקפיים המתמטיים שהאבולוציה הרכיבה על המוח שלנו.

מובן שגם גישה זו מעלה שאלות קשות. תורת הקוונטים, למשל, ידועה לשמצה בתור תאוריה שאף אחד אינו יכול לתפוס. זאת אומרת, אפשר להכיר את המשוואות, לפתור אותן, לנסח חוקים חדשים – אבל אין מוח אנושי שיכול להבין איך אלקטרון יכול להיות גם גל וגם חלקיק,  או איך יכול להיות שאלקטרון ייעלם במקום אחד ויופיע במקום אחר. ואף על פי כן, למרות שהאבולוציה לא הכשירה אותנו להתמודד עם תופעות קוונטיות ויחסותיות, המתמטיקה שלנו עובדת. המשוואות תקפות! אבל איננו מבינים אותן – לא באותו האופן שבו אנחנו מבינים משולש או עיגול. ואם המתמטיקה תקפה גם במצבים קיצוניים שכאלה, האם יכול להיות שהיא רק יציר דימיוננו ותו לא?

יש גישת ביניים שלפיה התשובה נמצאת איפשהו באמצע. אולי האקסיומות הגאומטריות הן המצאה אנושית טהורה בדומה לחוקים במשחק שחמט, למשל כל הקשרים, המשפטים והתובנות שנובעים מאותן האקסיומות הן תגליות, כמו אסטרטגיות פתיחה ומהלכים מבריקים של אלופי עולם. דהיינו, היקום עובד בצורה כזו שאם רק נגדיר בו סט של כללים בסיסיים, יש בו ההיגיון הפנימי המאפשר לנו לגלות קשרים חבויים.

חדי האוזן ודאי הבחינו בכך שיש מילה אחת שהקפדתי שלא להזכיר לאורך כל הפרק: 'אלוהים'. המילה הזו חוזרת על עצמה אלפי פעמים בכל דיון לגבי הפילוסופיה של המתמטיקה. הפיזיקאי ג'יימס ג'ינס הגדיר זאת: "היקום נראה כאילו עיצב אותו מתמטיקאי." פול ארדש, הגאון ההונגרי האקסנטרי, התפרסם בכך שטען שכל ההוכחות המתמטיות כתובות בספר של אלוהים, והוא רק יכול לחשוף חלקים מהספר.

תשובה לשאלה 'האם יש אלוהים?' ואם כן, האם הוא חובב מתמטיקה – נמצאת מעבר לגבולות הפרק הזה, מן הסתם. אבל אני חושב שרוב המתמטיקאים, גם אם הם אתאיסטים, יסכימו  לאמירה שאם מישהו מעוניין לגלות את הקשרים החבויים שבטבע, לתפוס את יופיו של היקום במובן העמוק ביותר, יש לו שתי אפשרויות: לפתוח את כתבי הקודש של הדת, או לפתוח את ספרי הלימוד של המתמטיקה.